با فرض  و  داریم:
(۱-۱۰۲)
(۱-۱۰۳)
و در حالت خاص که اتم در تشدید با میدان ورودی میباشند،  بوده و  احتمال‌ها عبارت‌اند از:
(۱-۱۰۴)
(۱-۱۰۵)
بنابراین:

پس مطابق شکل۱-۴ جمعیت با فرکانس رابی  بین حالتهای  و  نوسان میکند.

شکل۱-۴ تحول زمانی جمعیت در سیستم دو ترازی انرکنش کننده با میدان الکتریکی.
۱-۸ هامیلتونی موثر در یک سیستم دو ترازی
برای محاسبه هامیلتونی موثر در این سیستم، ابتدا معادلات حرکت (۱-۸۰) و(۱-۸۱) را به این صورت مینویسیم:
(۱-۱۰۶)
(۱-۱۰۷)
که با سادهتر کردن آنها و صرف نظر از جملات  به دلیل تقریب موج چرخان]۶[ خواهیم داشت:
(۱-۱۰۸)  (۱-۱۰۹)
معادلات فوق را میتوان به این صورت نوشت:
(۱-۱۱۰)
اگر رابطه (۱-۶۶) با اعمال شرط اولیه  ، به صورت  نوشته شود رابطه (۱-۱۱۰) عبارت خواهد بود از:
(۱-۱۱۱)
که در آن  عبارت است از:
(۱-۱۱۲)
دینامیک متناظر با هامیلتونی موثر  به این صورت داده میشود:
(۱-۱۱۳)
و رابطه بین بردار حالت  (متناظر با  ) با بردار حالت  (متناطر با  ) توسط تبدیل یکانی  بدین صورت است:
(۱-۱۱۴)
که این تبدیل یکانی عبارت است از:
(۱-۱۱۵)
پس با قرار دادن رابطه (۱-۱۱۳) در (۱-۱۱۱) خواهیم داشت:
(۱-۱۱۶)
با ضرب  ، به طرفین معادله و با توجه به اینکه برای تبدیل یکانی داریم  ، میتوان نوشت:
(۱-۱۱۷)
با مقایسه رابطه (۱-۱۱۷) و (۱-۱۱۳)، هامیلتونی موثر به این صورت به دست میآید:
(۱-۱۱۸)
که با قرار دادن روابط (۱-۱۱۲) و(۱-۱۱۵) ، در آن خواهیم داشت:
(۱-۱۱۹)
در نهایت با جابه‌جایی مبدا انرژی به اندازه  و استفاده از تعریف فرکانس گذار اتمی  و نامیزانی  ، هامیلتونی موثر سیستم دو ترازی عبارت خواهد بود از:
 (۱-۱۲۰)
۱-۹ اندرکنش اتم دو ترازی با میدان کوانتومی(مدل جینز کامینگ)
در این بخش اندرکنش یک اتم دو ترازی با میدان کوانتیزه در نظر گرفته شده است. فرض میشود که فرکانس  ، یکی از فرکانسهای مد ارتعاشی کاواک در حالت نزدیک تشدید با فرکانس  یعنی فرکانس انتقالی  باشد. سایر مدهای نوسانی که حالتهای اتم را به هم جفت نمیکنند نادیده گرفته میشوند. هامیلتونی کل سیستم به صورت زیر تعریف میشود]۷[:
(۱-۱۲۱)
در رابطه بالا جمله اول هامیلتونی اتم دو ترازی، جمله دوم هامیلتونی میدان کاواک و جمله سوم هامیلتونی اندرکنش اتم با میدان کاواک است. عملگرهای اتمی  به صورت زیر تعریف میشوند:
(۱-۱۲۲)
که شکل ماتریسی آنها به صورت زیر است:

به ترتیب ماتریسهای اسپین افزاینده و کاهندهاند و  ماتریس پاوًلی مولفهz است. با انتخاب نیمه مسیر بین دو تراز  و  به عنوان نقطه صفر برای انرژی در این صورت  و  خواهد بود. بنابراین هامیلتونی اتمی  به صوت زیر تعریف میشود:
(۱-۱۲۳)
هامیلتونی میدان کاواک به صورت  است که در این رابطه  به ترتیب عملگرهای فنا و خلق هستند. و در نهایت هامیلتونی اندرکنش اتم با میدان کوانتومی در موقعیت اتمی  به صورت  میباشد که به صورت زیر تعریف میشود:
(۱-۱۲۴)