همانطور که اشاره شد به منظور مدل سازی حیطه­های بینهایت، تکنیک­های مختلفی بوجود آمده­اند. در اینجا مروری بر تاریخچه پیدایش روش های مختلفی که به نحوی با مسائل شامل بی­نهایت سر و کار دارند، می­پردازیم.
مرز لزج توسط (زینکویچ و نیوتن، ۱۹۶۹؛ لیزمر و کهلیمیر، ۱۹۶۹؛ کهلیمیر، ۱۹۷۳؛ لیزمر و واس، ۱۹۷۲؛ وایت و همکاران، ۱۹۷۷)، مرز انتقال دهنده (واس، ۱۹۷۳؛ کاوسل، ۱۹۷۴؛ تاسولاس ۱۹۸۱؛ واس و همکاران، ۱۹۸۵؛ ورکل، ۱۹۸۶)، مدل ترکیبی (تی زنگ و پنزین، ۱۹۸۱؛۱۹۸۳؛۱۹۸۶) روش المانهای مرزی (ونگ و اشمید، ۱۹۹۲؛ چوآن و همکاران، ۱۹۹۲؛ دومینگوئز، ۱۹۹۳؛ ازرائیل و بنرجی، ۱۹۹۲) و روش المانهای بی­نهایت (چو و اسمیت، ۱۹۸۱؛ مدینا و پنزین، ۱۹۸۲؛ مدینا و تیلور، ۱۹۸۳؛ استلی، ۱۹۸۳؛ رجپکسی و کاراسودی، ۱۹۸۶؛ ژنگ و ژائو، ۱۹۸۷؛ ینگ و یان، ۱۹۹۲؛ کاراسودی و لیو، ۱۹۹۳؛ یان و همکاران، ۱۹۹۵؛ ینگ و همکاران، ۱۹۹۶)، ارائه شده است (Kim, 1999).
مفهوم روش المانهای بی­نهایت اولین بار توسط (Ungless, (1973 در غالب پایان نامه کارشناسی ارشد و Bettess, (1977) ارائه شد. البته لازم به ذکر است که بتس در مقاله خود اشاره به این نکته داشته که در دستیابی به این روش از کمک­­ و تشویق همکارش، زینکویچ، استفاده فراوان کرده است.
همانطور که پیشتر نیز اشاره شده بود، انواع مختلف فرمولاسیون المان بی­نهایت به منظور بررسی محیط بی­نهایت در مسائل مختلف مهندسی شکل گرفته است. در زیر به تاریخچه مختصری از این مورد اشاره شده است.
مسئله تحکیم (اشرفلر و سیمونی، ۱۹۸۷؛ کارپوراپو، ۱۹۸۸)، آنالیز تراوش (وود، ۱۹۷۶؛ هنجو و پوخارل، ۱۹۹۳؛ ژائو و والیاپان، ۱۹۹۳)، انتقال جرم (ژائو و والیاپان، ۱۹۹۴)، انتقال حرارت (سولیوان و اونیل، ۱۹۹۲)، مسائل آکوستیک (استلی، ۱۹۸۳)، اندرکنش سیال-سازه (بتس و زینکویچ، ۱۹۷۷؛ زینکویچ و همکاران، ۱۹۸۵؛ پارک و همکاران، ۱۹۹۱؛۱۹۹۲)، و اندرکنش خاک-سازه (چو واسمیت، ۱۹۸۱؛ مدینا و پنزین، ۱۹۸۲؛ مدینا و تیلر، ۱۹۸۳؛ رجبکسی و کاراسودی، ۱۹۸۶؛ ژنگ و ژائو، ۱۹۸۷؛ ینگ و یان، ۱۹۹۲؛ کاراسودی و لیو، ۱۹۹۳؛ یان و همکاران، ۱۹۹۵؛ ینگ و همکاران؛ ۱۹۹۶، یرلی و همکاران، ۱۹۹۸)، (Kim, 1999).
۲-۳ هدف این مطالعه
در فصل بعدی انواع مختلف المان بی­نهایت بیان خواهد شد. یکی از انواع پرکابرد روش المان بی­نهایت، المان بی­نهایت با زوال نمائی^[۱۳] است. در این مطالعه، از این نوع المان بی­نهایت جهت دستیابی به توابع نرمی دینامیکی^[۱۴] پی صلب بدون جرم در حالت دو بعدی، استفاده شده است. توابع یا ماتریس نرمی دینامیکی معکوس توابع یا ماتریس امپدانس^[۱۵] هستند. توابع امپدانس در واقع همان ماتریس سختی دینامیکی هستند. در فصل­های آینده به جزئیات روش به صورت مفصل اشاره خواهد شد، اما در اینجا به صورت خیلی خلاصه روش کار را توضیح داده می­ شود.
مسئله شامل حیطه نزدیک و حیطه دور است که حیطه نزدیک با بهره گرفتن از روش المان محدود و حیطه دور با بهره گرفتن از روش المان بی­نهایت، مدل سازی می­ شود. توابع امپدانس دینامیکی در حالت دو بعدی شامل حرکت قائم، حرکت افقی، حرکت دورانی و کوپل حرکت دورانی و حرکت افقی پی صلب بدون جرم است. تمام این­ ترم­ها در فرکانسهای مختلف محاسبه شده و توسط عدد بی­بُعد فرکانس، بی­بُعد می­شوند. در واقع محاسبات در حوزه فرکانس صورت می­گیرد. برای بدست آوردن توابع نرمی دینامیکی از روشی که توسط (Dasgupta & Chopra, (1977 ارائه شده، استفاده شده است. در این مطالعه رفتار لایه خاک واقع بر سنگ بستر بررسی شده است.

۳-روابط حاکم بر روش المان محدود و المان نامحدود
۳-۱ مقدمه­ای بر روش المان محدود
روش المان محدود یکی از روش های عددی است که به طور گسترده­ای در زمینه ­های مختلف مهندسی استفاده می­ شود. کتاب­های زیادی در این رابطه موجود است به عنوان مثال می­توان Bathe, (1996) و Cook, (2007) را نام برد. یکی از کتاب­های معروف در این زمینه کتاب زینکویچ Zienkiewicz & Taylor, (1977) است که ایشان یکی از پیشگامان روش المان محدود به حساب می­آیند. روش المان محدود مبتنی بر دامنه(حوزه) است. در اکثر روش های مبتنی بر حوزه، احتیاج به برش حوزه محاسباتی با یک مرز مشخص است. برای حالاتی که در حوزه محاسباتی انتشار شعاعی یا پراکندگی امواج داریم، شرائط مرزی باید به نحوی انتخاب شوند که استهلاک موج در بی­نهایت را نشان دهند (شرط تشعشعی سامرفلد). گاهی اوقات مرز به اندازه کافی دور در نظر گرفته می­ شود تا موج قبل از رسیدن به مرزهای حوزه مستهلک شود. قبل از به وجود آمدن روش های عددی مختلف که قادر به در نظر گرفتن شرایط بی­نهایت باشند از این تکنیک استفاده می­شد. اگر مسئله در حالت سه بعدی باشد یا مسئله کمی پیچیده باشد، هزینه و حجم محاسبات به شدت افزایش می­یابد. برای مقابله با این مشکل تکنیک­ها و روش­های عددی مختلفی بوجود آمده­اند.
محدودیت اصلی روش المان محدود برای حل مسئله موج، قرار گیری یک طول موج در یک المان است. به عبارت دیگر اندازه شبکه بندی(مش) محیط باید به صورتی باشد که یک المان بتواند یک طول موج را در خود ببیند. معمولاً در مسائل مهندسی با یک فرکانس مشخص سر و کار نداریم، بلکه بارگذاری­ها اکثر اوقات شامل طیف گسترده­ای از فرکانس هستند و این مسئله مبین این است که برای فرکانس­های مختلف احتیاج به شبکه بندی با اندازه­ های مختلف است.
محدودیت دیگر روش المان محدود برای مسئله موج، مشکل در مدل کردن حوزه بی­نهایت است. اساساً روش المان محدود بر اساس معادله حاکمه بوده و فرمولاسیون آن برای حوزه محدود است.
برای بررسی مسئله موج با روش المان محدود، حوزه مسئله به تعداد محدودی المان با اندازه محدود تقسیم شده و انتگرال گیری روی حوزه مسئله، در واقع جمع سهم هر المان است. به منظور برخورد با مسئله موج در حوزه بی­نهایت با روشی مبتنی بر حوزه، برش حوزه حل مسئله با فاصله­ای محدود همراه با مرز ساختگی بیرونی ضروری است. البته این مرز ساختگی باید بصورتی باشد که المان­های محدود داخل حوزه را به مرز بیرونی از لحاظ ریاضی مرتبط کرده و شرط تشعشعی سامرفلد در بی­نهایت را ارضا کند.
اما، با وجود این محدودیت­ها، روش اجزا محدود هنوز یکی از پرکاربردترین روش­های عددی­ است که برای بررسی مسائل موج بکار می­رود و در سالهای اخیر بیشتر مورد علاقه محققین قرار گرفته است. یکی از مزایای این روش، اصول نظری استوارش است. همچنین تولید سیستم ماتریس­های پر از درایه صفر و نواری که هزینه و زمان محاسبات را به شدت کاهش می­دهد، از مزایای دیگر این روش است. روش المان مرزی به عنوان روش موثری نسبت به روش­های مبتنی بر حوزه در نظر گرفته می­ شود. اما از اشکالهای آن تولید سیستم ماتریس­ها پیچیده و پر درایه است که معمولاً هزینه محاسبات را بشدت افزایش می­دهد.
۳-۲ مقدمه­ای بر روش المان نا­محدود
روش المان نا­محدود نیز روشی مبتنی بر حوزه است. در واقع این روش توسعه روش المان محدود است برای بررسی مسائلی که به نحوی با محیط­های بی­نهایت سر و کار دارند. در این روش، المان­ها از یک یا دو طرف به بی­نهایت گسترش می­یابند. در این روش احتیاجی به برش حوزه محاسباتی یا اعمال شرائط مرزی برای تقریب شرائط مرزی سامرفلد نیست.
برای بررسی مسائل موج، توابع شکل المانهای این روش شامل عاملی هستند که نشان دهنده سفر موج در محیط است. منظور از سفر موج وجود توأم حرکت نوسانی و استهلاک دامنه جابجایی موج است. این روش به دلیل شباهت فرمولاسیونی که با روش المان محدود دارد، براحتی با آن ترکیب می­ شود.
از مزایای دیگر اینکه در این روش مثل روش المان محدود ماتریس­ها نواری و متقارن باقی می­ماند که این دقیقاً بر عکس آن چیزی است که در روش المان مرزی اتفاق می­افتد، یعنی وجود ماتریس­های پُر و نا­متقارن. البته ذکر این نکات به این معنی نیست که روش المان مرزی یا روش های دیگر همگی ضعف دارند. هر روشی نقاط ضعف و قوتی دارد. در اینجا هدف بیشتر توضیح نقاط قوت روش المان بی­نهایت است. در قسمت بعدی بصورت مختصری به معرفی انواع پرکاربرد المان بی­نهایت می­پردازیم.
۳-۲-۱ المان نامحدود با زوال نمائی^[۱۶]
اولین بار مفهوم این نوع المان­ بی­نهایت توسط (Bettess, (1977 ارائه شد. این موضوع متعاقباً توسط (Bettess & Zienkiewicz, (1977 در سال ۱۹۷۷ توسعه پیدا کرد. اولین المان بی­نهایت برای مسائل موج بر اساس مدل نمائی از موج شکل گرفت. در این مطالعه برای بررسی اندرکنش خاک-سازه در حالت دو بعدی از این نوع المان استفاده شده است. فرمولاسیون این المان شامل حاصلضرب توابع شکل که بر اساس چند جمله­ای­های لاگرانژ هستند در یک ضریب نمائی است. این ضریب نمائی را تابع انتشار موج می­نامند. این ضریب در جهت نامحدود بکار می­رود و با در نظر گرفتن دو عامل زوال و نوسانی بودن موج، انتشار امواج در بی­نهایت را مدل می­ کند. این المان در جهت محدود () مانند المان­های روش المان محدود بوده ولی در جهت نامحدود() رفتار متفاوتی دارد. در این المان، انتگرال گیری در جهت محدود همانند المانهای روش المان محدود یعنی گائوس کوآدرچر^[۱۷] بوده و در جهت نامحدود از روش نیوتن-کوتس^[۱۸] استفاده می­ شود. در منابع متعددی اشاره به تعداد نقاط انتخابی جهت انتگرال گیری در جهت بی­نهایت در این المان شده است. در قسمت­ های بعدی راجع به این مطلب مفصل صحبت خواهد شد.
توابع شکل در این روش شامل سه ترم است. ترم اول نشان دهنده پدیده نوسانی موج است که با بهره گرفتن از عدد موج در غالب یک عبارت نمائی ظاهر می­ شود. ترم دوم مبین زوال یا استهلاک موج بوده که این ترم هم در غالب عبارت نمائی است و در نهایت ترم سوم همان چند جمله­ای­های لاگرانژ است. این المانها روی مرز بین حیطه نزدیک و حیطه دور عمل می­ کنند و در این قسمت، یعنی روی مرز جوابهای مناسبی می­ دهند. اما قادر به بررسی جواب در حیطه دور نیستند. در واقع قدرت این المان در نشان دادن تاثیر حوزه دور بر حوزه نزدیک است.
۳-۲-۲ المان بی­نهایت نگاشت شده
اولین المان بی­نهایت نگاشت شده^[۱۹] برای مسائل الاستواستاتیک توسط بیر و مییک، ۱۹۸۱؛ معرفی شد. نگاشت متفاوتی برای آن مسئله توسط زینکویچ ۱۹۸۱؛ ۱۹۸۳ ارائه شد که بعداً به مسائل شامل موج متناوب با اضافه کردن مولفه­های مناسب موج، اعمال شد. این کار توسط بتس و همکاران، ۱۹۸۴ و زینکویچ و همکاران، ۱۹۸۵ صورت گرفت. این روش قادر به مدل کردن زوال دامنه موج با فاصله است (Kim, 1999).
در کتاب المان­های نامحدود که توسط پیتر بتس نوشته شده، المانهای بی­نهایت را در دو گروه کلی طبقه کرده است. (المان بی­نهایت با زوال نمائی و المان بی­نهایت نگاشت شده). ولی المان­های بی­نهایت دیگری هم موجود هستند که برای کاربرد­های مختلف مهندسی بوجود آمده­اند، از جمله المان بی­نهایت بیضی و کروی شکل، المان پوشش موج، المان نگاشت شده پوشش موج، المان بی­نهایت مزدوج را می توان نام برد. المان­های ذکر شده اکثراً در بررسی مسائل آکوستیک توسط استلی و بتس مورد بررسی قرار گرفته­اند.
۳-۳ فرمول بندی مسئله
همانطور که در شکل ۳-۱ ملاحظه می­ شود حوزه نزدیک که می ­تواند شامل پیچیدگی هندسه و مصالح باشد که با روش المان محدود توسط المان معروف کوآدراتیک هشت گرهی^[۲۰] مدل شده و حوزه دور که به سمت بی­نهایت می­رود با روش المان نامحدود مدل شده است. شرایط مسئله در جهت عمود بر صفحه به صورت ثابت باقی می­ماند، در واقع در این مسئله از شرایط کرنش صفحه­ای^[۲۱] استفاده شده است. مسئله در قلمرو فرکانس تعریف شده و در ادامه توضیح داده می­ شود که با بهره گرفتن از بارهای هارمونیک و به تبع آن هارمونیک شدن جابجایی­های نظیر بارها، معادله دیفرانسیل حرکت که معادله حاکم بر مسئله است به معادله جبری تبدیل میشود. این عمل تأثیر بسیاری در ساده سازی حل مسئله می­ گذارد.

شکل ۳-۱ نیم فضا تحت اثر بار هارمونیک (Yang & Hong, 2009)
۳-۳-۱ معادله حاکمه
معادله حاکمه برای محیط همگن ایزوتروپیک الاستیک در نیم فضا، در غالب تغییر مکانها به صورت معادله نویر-کوشی^[۲۲] که بیشتر در مراجع بنام معادله نویر می­شناسند، مطرح می­ شود.
(۳-۱)
که ثابت لمه، مدول برشی مصالح، جابجایی، چگالی مصالح و نیروی جسم است. معادله نویر در حالت ویسکوالاستیک و با در نظر گرفتن میرایی هیستریسیس به صورت زیر است.
(۳-۲)
معادلات تعادل دینامیکی برای حالت دوبعدی عبارتند از
(۳-۳)
که در آن :
(۳-۴)
با فرض هارمونیک بودن جابجایی اگر معادله ۳-۳ را در ضریب وزنی ضرب کرده و از حاصل روی المان انتگرال گیری کنیم، به معادله زیر می­رسیم.
(۳-۵)
که ضخامت المان است. برای حل، از روش گلرکین استفاده شده است. در این روش ضرایب وزنی به عنوان تغییرات جابجایی در نظر گرفته شده ­اند . بعد از مقداری عملیات ریاضی به رابطه زیر می­رسیم.
(۳-۶)
در واقع رابطه بالا کاربرد اصل کار مجازی در المان است. میدان جابجایی در هر دو روش المان محدود و نامحدود به شرح زیر است.
(۳-۷)
بنابراین بردار­های جابجایی و شتاب با روابط زیر بیان می­شوند.