(۳-۲۰)

 

تعریف دوم برای ریسک‌گریزی برای متغیرهای تصادفی که فقط دو مقدار دارند، مناسب است. نابرابری جنسن تعریف کلی‌تری است و برای متغیرهای تصادفی مثل بازده که بیشتر از دو مقدار اختیار می‌کنند، مناسب است.

 

1. یک فرد ریسک‌گریز هیچ وقت یک بازی برابر را انجام نمی‌دهد. یک بازی برابر ‌به این صورت تعریف می شود که قیمت بلیطی که برای بازی کردن لازم است با جایزه مورد انتظار برابر است(لوی، ۲۰۰۶: ۷۷-۷۵).

 

۳-۷-۲- قانون تصیم گیری سرمایه‌گذاری ‌بر اساس معیار تسلط تصادفی مرتبه دوم

 

F و G دو سرمایه‌گذاری هستند با تابع توزیع تجمعی F(x) و G(x) که تابع چگالی آن ها f(x) و g(x) می‌باشد. F ‌بر اساس معیار تسلط تصادفی دوم برای همه ریسک‌گریزان، بر G مسلط است ( ) اگر و فقط اگر شرایط زیر برای همه برقرار باشد:

 

 

 

(۳-۲۱)

 

و حداقل ای وجود داشته باشد که به ازای آن این نامعادله به صورت قطعی برقرار باشد. این قاعده و مسأله به صورت زیر هم بیان می‌گردد(لوی، ۲۰۰۶: ۸۲-۷۸):

 

 

 

(۳-۲۲)

 

برای همه حداقل یک وجود خواهد داشت که به ازای آن نامعادله قطعا برقرار باشد.

 

برای همه مقادیر x حداقل وجود خواهد داشت که نامعادله قطعا برقرار باشد.

 

۳-۷-۳- شرح نموداری تسلط تصادفی مرتبه دوم

 

شرط در تسلط تصادفی مرتبه‌ی دوم بیان می‌کند که محدوده بسته بین دو توزیع تحت نظر، بایستی تا هر نقطه x نامنفی باشد. هنگامی که تسلط Fو G را بررسی می‌کنیم، منطقه محدود بین دو توزیع را با علامت مثبت و هنگامی که G زیر Fقرار دارد با علامت منفی نشان می‌دهیم(لوی، ۲۰۰۶: ۸۸-۸۲).

 

 

 

بازده

 

تابع توزیع تجمعی

 

نمودار ۳-۳٫ عدم وجود تسلط بین F و G ‌بر اساس معیار تسلط تصادفی مرتبه دوم (لوی، ۲۰۰۶: ۸۵)

 

 

 

تابع توزیع تجمعی

 

بازده

 

نمودار ۳-۴٫ تسلط F بر G ‌بر اساس معیار تسلط تصادفی مرتبه دوم (لوی، ۲۰۰۶: ۸۵)

 

۳-۷-۴- شرح مفهومی تسلط تصادفی مرتبه دوم

 

اگر F ‌بر اساس تسلط تصادفی مرتبه دوم بر G مسلط باشد، ‌بنابرین‏ برای هر ناحیه منفی(G<F) یک ناحیه مثبت (G>F) وجود خواهد داشت که بزرگ‌تر یا مساوی منطقه منفی خواهد بود و قبل از ناحیه منفی قرار خواهد گرفت. برای سهولت فرض می‌کنیم که تنها یک ناحیه منفی و یک ناحیه مثبت وجود دارد و منطقه منفی از نظر وسعت کوچکتر از منطقه مثبت است. با توجه به معادله داریم:

 

 

 

(۳-۲۳)

 

از آنجا که یک تابع نزولی از x است، لذا ناحیه مثبت نسبت به ناحیه منفی که بعد از ناحیه مثبت قرار دارد، در تعداد بیشتری از ضرب خواهد شد. لذا انتگرال غیرمنفی خواهد بود. این مطلب نشان می‌دهد که برای همه رابطه برقرار خواهد بود(لوی، ۲۰۰۶: ۸۸).

 

۳-۸- مفاهیم آماری تسلط تصادفی مرتبه سوم

 

در این قسمت مفاهیم آماری تسلط تصادفی مرتبه سوم شامل بیان آماری مفروضات، قوانین تصمیم‌گیری تسلط تصادفی مرتبه سوم، شرح نموداری تسلط تصادفی مرتبه سوم و شرح مفهومی تسلط تصادفی مرتبه‌ی سوم ارائه شده است.

 

۳-۸-۱- چولگی^[۹۵] مثبت به‌ عنوان یک ابزار اندازه‌گیری برای تسلط تصادفی مرتبه‌ی سوم

 

تسلط تصادفی مرتبه‌ی سوم مطابق با یک سری توابع مطلوبیت است که در آن‌ ها و و و است. فرض اضافه شده در تسلط تصادفی مرتبه سوم که به‌واسطه آن مشتق سوم تابع مطلوبیت باید مثبت باشد مربوط به چولگی توزیع است.

 

چولگی یک توزیع نرخ بازده با نشان داده می‌شود و عبارت است از:

 

برای توزیع‌های گسسته

 

(۳-۲۴)

 

تعداد مشاهدات و تابع احتمال است.

 

برای توزیع‌های پیوسته

 

(۳-۲۵)

 

 

 

نمودار ۳-۵٫ تابع چگالی توزیع به ترتیب از راست به چپ با چولگی منفی، متقارن و مثبت(لوی، ۲۰۰۶: ۹۷)

 

نرخ بازده سهام عموماً دارای چولگی مثبت است زیرا قیمت سهم می‌تواند به صفر کاهش یابد(۱۰۰%- نرخ بازده)، اما قیمت سهم از بالا نامحدود است. لذا توزیع نرخ بازده ممکن است یک چولگی مثبت ایجاد کند(لوی، ۲۰۰۶: ۱۰۰-۹۴).

 

۳-۸-۲- قانون تصمیم گیری سرمایه‌گذاری ‌بر اساس معیار تسلط تصادفی مرتبه‌ی سوم

 

F(x) و G(x) توابع توزیع تجمعی دو سرمایه‌گذاری مورد نظر می‌باشند که تابع چگالی آن ها f(x) و g(x) است. F بر G ‌بر اساس تسلط تصادفی مرتبه سوم مسلط است اگر و فقط اگر شرایط زیر برای همه مقادیر x برقرار باشد:

 

x برای همه مقادیر

 

(۳-۲۶)

 

ما نیازمند این هستیم که برقرار باشد.

 

(۳-۲۷)

 

یا ( )

 

و حداقل یک نامعادله قطعی مثل زیر وجود خواهد داشت(لوی، ۲۰۰۶: ۱۰۶-۱۰۱):

 

(۳-۲۸)

 

برای همه ،

 

۳-۸-۳- شرح نموداری تسلط تصادفی مرتبه‌ی سوم

 

مسلط بودن یک سرمایه‌گذاری بر سرمایه‌گذاری دیگر ممکن است به خاطر این باشد که یک سرمایه‌گذاری میانگین بیشتر، واریانس کمتر یا چولگی مثبت دارد. با توجه به اطلاعات جدول ۳-۳ دو توزیع، میانگین و واریانس برابر دارند و F ‌بر اساس تسلط تصادفی مرتبه سوم برG مسلط است.

 

جدول ۳-۳٫ توزیع بازده سرمایه‌گذاری F و G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

سرمایه‌گذاری F سرمایه‌گذاریG X X ۷۵/۰ ۱ ۲۵/۰ ۰ ۲۵/۰ ۳ ۷۵/. ۲ ۵/۱ ۵/۱ بازده مورد انتظار ۷۵/۰ ۷۵/۰ واریانس

مأخذ: لوی، ۲۰۰۶: ۱۰۷٫

 

شکل ۳-۶ تابع توزیع تجمعی را برای دو سرمایه‌گذاری نشان می‌دهد. از آن‌جا که دو توزیع یک‌دیگر را قطع کرده‌اند، ‌بر اساس تسلط تصادفی مرتبه اول نمی‌توان اظهار نظرکرد.

 

 

 

بازده

 

نمودار ۳-۶٫ تابع توزیع تجمعی F و G (لوی، ۲۰۰۶: ۱۰۸)

 

برای بررسی تسلط F بر G ‌بر اساس تسلط تصادفی مرتبه دوم ابتدا باید را رسم کنیم. شکل ۳-۷، را برای همه مقادیر x رسم کرده ‌است. چون هم دارای مقادیر مثبت و هم منفی است لذا نه F و نه G ‌بر اساس تسلط تصادفی مرتبه دوم بر یکدیگر مسلط نیستند.

 

 

 

بازده

 

نمودار ۳-۷٫ آزمون تسلط تصادفی مرتبه دوم برای F و G (لوی، ۲۰۰۶: ۱۰۸)

 

‌بنابرین‏ ‌بر اساس تسلط تصادفی مرتبه سوم، را رسم می‌کنیم. شکل ۳-۸، را نشان می‌دهد. چون برای همه مقادیر x، رابطه برقرار است و برای برخی از مقادیر x، رابطه برقرار است نتیجه می‌گیریم که F ‌بر اساس تسلط تصادفی مرتبه سوم بر G مسلط است. در توزیع‌های بازدهی F و G، و . F چولگی مثبت دارد و G چولگی منفی و با توجه به رابطه مشتق مرتبه سوم مثبت است. لذا ترجیج برای چولگی مثبت وجود دارد. ‌بنابرین‏ تسلط F برG ‌بر اساس تفاوت چولگی توزیع این دو سرمایه‌گذاری قابل توضیح است.

 

 

 

بازده

 

نمودار۳-۸٫ آزمون تسلط تصادفی مرتبه سوم برای F و G (لوی، ۲۰۰۶: ۱۰۸)

 

با توجه به اطلاعات جدول ۳-۴ دو توزیع، میانگین و چولگی برابر دارند.